Matematik
MATEMATİK, çok eski zamanlardan beri insanların en çok yararlandığı konulardan biri olmuştur. Eski Mısırlılar ve Babilliler matematiği takvim düzenlemek için kullanıyorlar, böylece ekinlerini ne zaman ekeceklerini ya da Nil Irmağı'nın ne zaman taşacağını önceden kestirebiliyorlardı. Alışverişlerde ve hesapların tutulmasında aritmetikten, tarlaların sınırlarını belirlemek, piramitleri ve benzeri anıtları inşa etmek için geometriden yararlanılıyordu.
O tarihlerden başlayarak matematik bilgisini kullananların sayısı sürekli arttı, matematik bilginleri matematiği daha da geliştirdiler. Bunun sonucunda bu bilim dalının uygulandığı alanların sınırları gittikçe genişledi. Yüksek hızlı, elektronik bilgisayarların geliştirilmesiyle hesaplamalar için gereken süreler çok kısaldı ve matematiğin kullanımı büyük gelişme gösterdi.
Astronomi ölçümleri ve zamanın belirlenmesiyle ilgili hesapların doğruluk derecesi arttıkça, denizcilik ve haritacılık da gelişti. Böylece, Kristof Kolomb'dan bu yana insanlar yeni toprak parçaları keşfetmek için anayurtlarından çok daha uzaklara gidebildiler. Zaman içinde matematik daha iyi gemilerin, lokomotiflerin, otomobillerin ve sonunda da uçakların tasarımı için kullanıldı. Radar sistemlerinin tasarımında, Ay'a ve bazı gezegenlere roket gönderilmesinde de matematikten yararlanıldı.
Günlük Yaşamda Matematik
Denizde, havada ve karada yol alırken en önemli sorun nerede bulunduğunuzu belirle¬mektir. Bazen bunu söylemek çok kolaydır. Örneğin bir gemidesiniz ve tam kuzeyinizde bir deniz feneri, tam doğunuzda da bir kayalık görüyorsunuz. Bu durumda, tam olarak nerede olduğunuzu söyleyebilir ve haritada yerinizi kesin olarak belirleyebilirsiniz. Ama diyelim ki, radarınız A noktasından 30 km, B noktasından 35 km uzakta olduğunuzu gösteriyor ve haritaya baktığınızda A ile B arasındaki uzaklığın 50 km olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda yerinizi nasıl saptarsınız?
Matematikçiler bir noktanın uzaydaki yerini belirlemek için birçok yöntem bulmuşlardır. Fransız matematikçi Descartes'ın 17. yüzyılda bulduğu yöntem bunlardan en çok kullanılanıdır. Descartes, biri x ekseni, öbürü y ekseni olmak üzere önce birbirine dik iki eksen çizdi
(şekil 1):
y y y ,tk,l I X «kıl : X
sekil 3 x
Yeri bu eksenlere göre 5 ve 3 sayılarıyla verilen bir noktayı bulmak için, eksenlerin kesiştiği noktadan başlanır; x ekseni boyunca 5 birim gidilir, sonra da y eksenine paralel olarak 3 birim yukarı çıkılır (şekil 2). Benzer biçimde siz de, şekil 3'te olduğu gibi (4,2), (3,1) ve (2,0) sayılarıyla verilen noktalan bulabilirsiniz.
Bu dört noktanın bir doğru üzerinde bulunduğunu fark etmişsinizdir. Eğer her nokta için verilen iki sayıyı (x ve y sayılarını) ele alırsanız, her noktada, bunlardan birincisinin ikincisinden 2 fazla olduğunu da görebilirsiniz. Bir başka deyişle, x sayısı y sayısından 2 fazladır ve biz bunu, x = y + 2 biçiminde yazabiliriz. Bu eşitlik, ele aldığımız noktalar kümesinin denklemidir.
Ticarette kullanılan matematik Babilliler' den bu yana çok daha karmaşık bir hale geldi. Örneğin, büyük bir mağazadan ayakkabı aldığınızda, satış elemanının sattığı malı bir karta işlediğine dikkat etmişsinizdir. Bu kart, ayakkabının numarası, modeli, satış tarihi ve hangi mağazadan satıldığı gibi bilgileri kapsayabilir. Kart, mağazanın bağlı olduğu şirketin genel merkezine gönderilecek ve içindeki bilgiler bilgisayara işlenecektir. Bilgisayara her gün bu türden pek çok kart işlenir. Bilgisayar bu kartlardaki bütün bilgileri çözümleyerek, satışların mağazalarda ayakkabı model ve numaralarına göre dağılımına ilişkin bilgileri üretir. Bu bilgilerden yararlanılarak, stoklarını yenilemeleri için mağazalara ayakkabı gönderilebilir ve yöneticiler hangi modellerin da¬ha çok satıldığını bilebilir. Bilgisayar ayrıca, bir mağazalar zincirinin karmaşık muhasebe kayıtlarını da tutabilir.
İşletme yöneticileri her zaman işlerinin nasıl gittiğini bilmek isterler; işteki gelişmeyi göstermenin en basit yolu bir grafik çizmektir:
1982 1983 198419851986
Bu grafik, bir şirketin yıllık kârlarının 1982 ile 1986 arasında nasıl değiştiğini göstermektedir.
İş yaşamında başka tür bilgiler de yararlı olabilir; matematiğin istatistik olarak adlandırılan dalı, bu tür bilgileri aşağıdakine benzer grafikler yardımıyla sağlar:
Bu grafik, 11 yaş grubundan çocukların ayakkabı numaralarını göstermektedir. Ayakkabı üretiminde örneklem tekniklerinden yararlanılır. Bir ülkedeki insanların ayakkabı ölçülerinin hangi numaralar arasında değiştiği ve nüfusun yüzde kaçının hangi numara ayakkabı giydiği doğruya oldukça yakın biçimde öğrenilebilir. Belirli bir yaş grubundan çocukları kapsayan bu grafikte olduğu gibi, ülke nüfusunun büyük çoğunluğu "ortalama" büyüklüklerde ayakkabı giyer; çok büyük ve çok küçük numaralı ayakkabı satın alan pek az kişi vardır. Bu bilgilerden yararlanan imalatçılar, hangi numaralardan kaçar çift ayakkabı imal etmeleri gerektiğine karar verebilirler. Mağazalar da depolayacakları numara ve miktarları saptayabilirler. Gerçekten de mağazaların çoğunda çok büyük ya da çok küçük numaralı ayakkabılar bulunmaz; çünkü bunlara olan talep çok azdır. Onun için, ileride ayaklarınız çok büyürse ya da böyle çok küçük kalırsa, uygun ayakkabıyı bulmakta güçlük çekeceksiniz demektir. (Ayrıca bak. İSTATİSTİK.)
İstatistik bir bakıma, gelecekte olacaklara ilişkin tahmin'de bulunmaya yöneliktir. Bugün ayakkabı talebine ilişkin olarak yapılan tahminlerin önümüzdeki birkaç yıl için geçerli olacağı kabul edilebilir. Hava tahminleri, hava sistemlerinin o andaki durumuna bakarak ve bu durumun ne kadar süreceğine ilişkin hesaplar yaparak gerçekleştirilir. Uzun vadeli hava tahminlerinde ise, daha önce tanık olunmuş benzer sistemlerle karşılaştırılan karmaşık hava sistemlerine ilişkin ayrıntılı bilgisayar çözümlemelerinden yararlanılır.
Ama geleceğin önceden kestirilmesi bu kadar basit değildir. Nolandiya adındaki hayali bir ülkenin nüfusu sürekli olarak artmaktaydı ve hükümet, okul binası yapımında, öğretmen yetiştirmede ve benzeri konulardaki kararlarını, çocuk nüfusunun sürekli bu hızla artacağını varsayarak almıştı. Ama 1970'lerin başlarında, Nolandiya'da doğum oranı birdenbire düşmeye başladı ve bir öğretmen fazlalığı ortaya çıktı.
Basit Şaşırtmacalar
Çok basit durumlarda bile bazen daha sonra ne olacağını söylemek zordur. Bir kâğıt sayfasını bir bölge olarak kabul edersek, bu sayfayı kesen bir doğru çizdiğimizde kâğıdı iki bölgeye, bir çizgi daha çizdiğimizde dört bölgeye ayırmış oluruz:
Diyelim ki, bir üçüncü çizgi daha çizdik; en çok kaç bölge elde edebiliriz? Şu ana kadar, sırasıyla 1, 2, 4 bölge elde etmiştik. Şimdi kaç bölgemiz olacağını söyleyebilir misiniz?
Sayıların bu gidişi bizi şaşırtabilir ve her se¬ferinde bölge sayısının ikiye katlandığını sanabiliriz. Ama gerçekte, üçüncü çizgi çizildiğinde ortaya çıkacak bölge sayısı sekiz değil, en çok yedidir:
Bu durum karşısında, bölge sayılarının artışı konusunda değişik bir kural düşünmek zorundayız: 1, 2, 4, 7,...
Biraz daha karmaşık bir örnek olarak, aşağıdaki durumu ele alalım. Bir daire ve bu dairenin çemberi üzerinde iki nokta alıp bunları bir doğruyla birleştirelim. Çizdiğimiz doğru, daireyi iki bölgeye ayırır. Şimdi çember üzerinde bir başka nokta seçelim ve bunu daha önceki noktalarla birleştirelim; bölge sayısı ki katına çıkar:
Sonra dördüncü bir nokta seçelim ve çizeceğimiz doğrularla bunu da daha önceki noktalarla birleştirelim. Bölge sayısı gene iki katına çıkar:
Beşinci noktayı ekledikten sonra da aynı şey olur ve bölge sayısının gene iki katına çıktığını görürüz. Bu son derece açık artış biçimi karşısında, bunun böyle süreceğini ve ekleyeceğimiz her noktayla bölge sayısını iki katına çıkarabileceğimizi rahatlıkla düşünebiliriz. Ama, altıncı bir nokta eklediğimizde, 32 değil yalnızca 31 bölge elde edebiliriz! Bu durumda ortaya çıkan sayılara uygun değişik bir kural bulabilir misiniz?
2, 4, 8, 16, 31,...
Kuramsal ve Uygulamalı Matematik
Ele aldığımız bölge problemleri, yaşantımızla doğrudan ilişkili olmadığından "yararlı" bulunmayabilir; ama matematikçiler her zaman matematiğin ne işe yarayacağını düşünmezler. Nasıl bazı kişiler bulmaca çözmeyi severlerse, matematikçiler de problemlerle öyle uğraşırlar. Matematikçiler iki gruba ayrılabilir: Uygulamalı matematik alanında çalışarak mühendislik, bilim, teknoloji, ticaret problemlerini çözmeye uğraşanlar ve matematiğin yalnızca kendisiyle ilgili bir dalı olan kuramsal matematik alanında çalışanlar. Tüm matematik tarihi boyunca kuramsal ve uygulamalı matematik birbirinden destek almıştır.
Örneğin, Eski Mısırlılar ve Babilliler kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birim olan bir üçgenin iki kısa kenarı arasındaki açının dik açı (90°) olduğunu belirlemişlerdi. Mısırlılar, üzerine düzgün aralıklarla düğüm atılmış olan bir ipi cetvel olarak kullanmışlar ve kenarları 3, 4 ve 5 birim uzunluğunda olan bir dik üçgeni elde edebilmek için bu ipten yararlanmışlardı:
Mısırlılar, o görkemli piramitleri ve sarayları işte bu basit aletlerle yapmışlardır.
Ama Mısırlılar, kenar uzunlukları 3, 4, 5 birim olan bir üçgenin niçin bir dik üçgen olduğu sorusunu hiç sormamışlardı. Buna karşılık Eski Yunanlılar daha çok bu tür konular üzerinde durdular. Yunanlılar "3, 4, 5" üçge¬nini biliyorlardı; ayrıca, seramik yer karolarının desenlerinde başka dik üçgenlerin bulunduğunu da görüyorlardı:
Yukarıdaki karo çiziminde, kenarları maviyle belirtilmiş büyük karedeki üçgen sayısının iki küçük karedekilerin toplamı kadar olduğunu göreceksiniz. Bu, büyük karenin alanının öbür iki karenin alanlarının toplamına eşit olduğu anlamına gelir. Söz konusu eşitlik "3, 4, 5" üçgeni için de geçerlidir:
Eski Yunanlılar bunun, kenarları hangi uzunlukta olursa olsun, bütün dik üçgenler için doğru olduğunu buldular. Bunu ilk kanıtlayanın Öklit olduğu sanılır (bak. ÖKLİT); ama bu kanıt matematik tarihinde Pisagor teoremi olarak anılır (bak. PİSAGOR).
Üçgenler ve Kareler
Pisagor teoremi geometrideki ölçümlerin temelini oluşturur ve belki de bugüne kadar elde edilmiş olan en yararlı sonuçlardan biridir. Diyelim ki, 12 metre yüksekliğindeki bir bayrak direği, tepesinden uzanan ve dibinden 5 metre uzaklıktaki bir noktada yere bağlanan bir telle sağlamlaştırılmak isteniyor. Telin uzunluğu kaç metre olmalıdır?
5 m
Problem, Pisagor teoreminden yararlanılarak çözülebilir: Ortaya çıkan dik üçgenin dik kenarları üzerindeki karelerin alanları 12: ve 52'dir; bunların toplamı
122+5:= 144+25= 169
olur. Bulunan bu sonuç, telin oluşturduğu kenar üzerindeki karenin alanıdır ve 132=169 olduğundan, telin de 13 metre uzunluğunda olması gerektiği kolayca görülebilir.
Bu anlatılanlardan, Mısırlılar için yalnızca pratik geçerliliği olan bir problemin, Yunanlılar için nasıl bir "bulmaca" oluşturduğunu görmüşsünüzdür. Yunanlılar'ın bu "bulmaca" üzerinde düşünerek buldukları çözümün y.a da vardıkları sonucun o günden bugüne uygulamada ne büyük önem taşıdığı da bu örnekten kolayca anlaşılabilir.
Karekökler
169, 13'ün karesidir; öyleyse 13 de 169'un karekökü'dür. Pisagor teoremini kullanabilmek için önce karekökleri bulmak gerekir. 169'un karekökünü bulmak kolaydı; ama, kısa kenarları l'er birim uzunluğunda olan bir dik üçgenin uzun kenarının kaç birim olduğunu nasıl bulursunuz?
1,4 de küçük olduğuna göre, 1,4 ile 1,5 arasın¬da bir sayıyı, örneğin 1,45'i deneyin:
1,452=2,1025
büyük büyük büyük küçük!
Bu da 2'den büyük; öyleyse 1,44'ü denemelisiniz:
1,442=2,0726 1,432=2,0449 1,422=2,0164 1,412=1,9881
1
1
Büyük karenin alanı, öbür ikisinin alanlarının toplamına eşit olmalıdır:
l'+l2=l + l=2.
Ama 2'nin karekökü hangi sayıdır?
Matematikçilerin temel uğraşılarından biri, buna benzer sorulara yanıt aramaktır; nitekim karekök almak için bugüne kadar birçok yöntem geliştirmişlerdir. Günümüzde bu sorun karekök düğmesi olan bir elektronik hesap makinesiyle kolayca çözülebilir: Önce "2"ye, sonra "V " işaretinin bulunduğu düğmeye basar ve 1,414213 gibi bir sonuç okuruz.
Eğer hesap makinenizin karekök düğmesi yoksa, o zaman 2'nin karekökünü tahmin eder ve bu tahmininizi makineyle kontrol edebilirsiniz. Tahmininiz doğruysa, denediğiniz sayının karesi, yani kendisiyle çarpımı 2'yi vermelidir. Diyelim ki, 2'nin karekökünün 1,5 olduğunu tahmin ediyorsunuz; bu sayının karesini aldığınızda
1,52=2,25
bulacaksınız. Demek ki, 1,5 aradığınız sayıdan büyüktür; öyleyse 1,4'ü deneyin:
1,42=1,96
Demek ki, aradığımız sayı 1,41 ile 1,42 arasında olmalıdır. Bu yolu izleyerek her seferinde 2'nin kareköküne biraz daha yaklaşırız; bu işlem bir cep hesap makinesiyle kolayca yapılabilir. Doğru yanıta gittikçe daha fazla yaklaşabilmeyi sağlayan bu yönteme yinelemeli yöntem denir. Bu tür yöntemler, sonucu bir saniyeden çok daha kısa sürede hesaplayabilen bilgisayarlar için uygundur.
Ondalık Sayılar
Gündelik yaşamda, bir sayının karekökünü 2. ya da 3. ondalık basamağına kadar hesapla¬mak genellikle yeterlidir. Örneğin, metreyle ölçüm yaparken, milimetre basamağının öte¬sinde bir kesinliği pek aramazsınız. Ama matematikçiler, gitgide daha çok ondalık basamağa doğru ilerlediğinde sonucun ne olacağı¬nı merak ederler.
Vi'yi bir ondalık sayıya çevirirsek 0,5 elde ederiz. Bunu elde ederken ya
V2 = 5/W
olduğunu biliriz ya da Vi'nin
'/2=İH-2
biçimindeki bir bölme işleminin sonucu oldu¬ğu gerçeğinden hareket ederiz. Gerçekten de l'i 2'ye böldüğümüzde {bak. ONDALIK SAYI¬LAR) sonuç 0,5'tir:
2
1
0,5
Benzer biçimde 5/8=0,625'i de hesaplayabi¬liriz:
8
0,625
Bazı kesirleri birkaç ondalık basamaktan öte¬ye yürütemeyiz, çünkü "kalan" olmaz. Ama 3/7'yi ondalık sayıya çevirmeyi denersek, ortaya garip bir sonuç çıkar: bir kez döndüğünde bisikletin 3x60 santimetreden, yani 180 santimetreden biraz daha fazla yol aldığını gösterir.
0,4285714
3,0000000 28
20 14 60 56 40 35 50 49 10 7
30 28
Rakam dizisi yeniden 4'le başlar ve 428571'i oluşturan altı rakamlık dizi, aynı sırayla defalarca yinelenir. Buna yinelenen ondalık denir ve yinelenen rakam dizisini göstermek için, dizinin ilk ve son rakamı üzerine birer nokta konur. Örneğimizi bir de bu biçimde yazalım:
3/y=0,42857İ.
Bu tür kesirlerden bazılarının yinelenen ondalıkları çok uzundur:
V6i =0,0163934426229508196721311147540 983606557377049180327868852459
Sonsuz Sayılar
Aslında bütün bayağı kesirler, ondalık sayı bi¬çiminde yazıldığında ya belirli bir ondalık ba¬samağında son bulur ya da basamakları belirli rakam dizileri halinde yinelenip gider. Ama, bu iki örneğe uymayan sayılar da vardır; bunlar ondalık kesir olarak yazıldığında, ondalık basamakları herhangi bir noktada son bulmaksızın ya da belirli rakam dizileri halinde yinelenmeksizin sürüp gider. 2'nin karekökü bu tür sayılardan biridir.
Sonu olmayan bir başka ondalık kesir de, Yunan alfabesinde n (pi) harfiyle gösterilen sayıdır. Herhangi bir dairenin çevre ve çap uzunluklarını ölçerseniz, çevrenin çapın üç katından biraz daha uzun olduğunu görürsü¬nüz. Bu, 60 cm çapındaki bir bisiklet tekerleği
Tarih boyunca insanlar 77 sayısı için çeşitli yaklaşık değerler kullanmışlardır. Kudüs'teki Süleyman Tapınağı'nı yapan İbraniler için TT sayısını 3 olarak almak yetiyordu. Babilliler ?r'yi 3Vs, Mısırlılar ise 313/8i olarak aldılar. Es¬ki Yunanlı matematikçi ve bilim adamı Arşimet (bak. ARŞİMET), 77'nin 3lü/7i ile 3V7 arasın¬da olduğunu buldu. 1573'te bulunan ilgi çekici bir başka yaklaşık değer de
355/113
idi. Aslında 7r'nin ilk birkaç ondalık basamağı
3,14159265...
biçimindedir ve uygulamada bunu 3,14 olarak almak genellikle yeterli olur. Ama yalnızca merak nedeniyle, matematikçiler 1949'dan beri 77'nin daha çok ondalık basamağını hesap etmek için bilgisayar programları geliştirmişler ve 1981'de Japonya'daki bir bilgisayar 2 milyonuncu ondalık basamağı bulmuştur.
Kuşkusuz gündelik yaşamda ve çeşitli bilim dallarında büyük önemi olan sayılar kendi başlarına da çok ilgi çekicidir ve matematiğin sayılar kuramı ya da yüksek aritmetik olarak adlandırılan dalı bütünüyle sayıları ve sayıların özelliklerini konu alır (bak. SAYI).
Tam Kare Sayılar
Sayıların ilginçliğini görmek için tam kare sayıları inceleyebiliriz:
1, 4, 9, 16, 25, 36,...
Tam kare sayılar, tamsayıların "karesi alınarak" bulunur: ı2=ı
22=4 32=9 vb.
Tam kare sayılardan "kareler" de yapabiliriz:
O O O O
o o o o o o o
oooo ooo oo
oooo ooo oo o
Ardışık tek sayılar toplanarak da tam kare sayılar elde edilebilir: 1 = 1 4=1+3 9=1+3+5 16=1+3+5+7
Eğer ardışık çift sayıları toplarsak, bir tam ka¬re sayı ile onun karekökünün toplamı elde edilir:
2= 2= 1 + 1 = 12 + 1 2+4= 6= 4+2=22+2 2+4+6=12= 9+3=32+3 2+4+6+8=20=16+4=42+4
Tam kare sayıların son rakamları
1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,...
biçiminde gider ve hiçbir tam kare sayı 2,3,7 ve 8'le bitmez.
Noktalar belirli bir kural içinde düzenlenerek değişik kareler elde edilebilir:
O
o OOO
O OOO OOOOO
OOO OOOOO OOOOOOO
O OOO OOOOO
O OOO
O
Bu karelerdeki nokta sayısının (5, 13, 25,... vb), ardışık tam kare sayıların toplamına eşit olduğu görülecektir:
5 = 1+4 13=4+9 25=9+16
Bunu, aşağıdaki karelere bakarsak daha iyi kavrayabiliriz:
O
O O O
O O O OOO
OOOOOOOOO
O O O OOO
o o o
o
25 aynı zamanda bir tam kare sayı olduğu için, son eşitliği
52=32+42
biçiminde yazabiliriz. Bu bize, kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birim olan üçgene uyguladığımız Pisagor teoremini anımsatmaktadır. Ke¬nar uzunlukları tamsayılarla ifade edilebilecek başka dik üçgenler bulmak da çok ilgi çekicidir. Bu, iki tam kare sayının toplamı olan başka tam kare sayıları bulmak demektir. Bayrak direği örneğimizde böyle bir sayıyla karşılaşmıştık:
132=52+122
Genellikle yapıldığı gibi bu üç sayının yerine x, y ve z harflerini kullanırsak, bu eşitliği şöyle yazabiliriz
z2=x2+y2.
Harfler, Kurallar ve Fonksiyonlar
Sayıların ya da başka şeylerin yerine harflerin kullanılması, matematik kurallarını tanımla¬yabilmek için iyi bir yoldur. Cebir öğrenmeye başlayanlar bunu bilirler (bak. CEBİR). Örne¬ğin, tam kare sayıların hangi sayıların karesi olduğunu
1 U 1 2^ 4 3U 9 4^ 16
biçiminde gösterirsek, "kare alma"nın kuralını biçiminde yazabiliriz; burada x herhangi bir sayıyı gösterir. Verilmiş sayılarla ne yapılacağını gösteren kurala fonksiyon denir. Fonksiyon konusu, matematiğin analiz denen dalını oluşturur (bak. FONKSİYON).
Fonksiyonları göstermenin bir yolu, Descartes'ın yukarıda ele aldığımız grafik yöntemini kullanmaktır. Fonksiyonun kapsadığı her sayı çiftini bir nokta olarak gösterebiliriz. Örneğin, "kare alma" fonksiyonu için, 1 -* 1, 2 —» 4, 3 —> 9 olduğundan, bunları sayı çiftleri halinde
(1,1), (2,4), (3,9),...
biçiminde yazabilir ve bu sayıların grafiğini çizebiliriz:
/
0 ^> 0 (sıfırın karesi sıfır) olduğuna göre, (0,0) sayı çifti de bizim aradığımız bir başka nokta¬yı belirler. Tamsayılar arasında kalan kesirli sayıların da karelerini alabiliriz:
(V2f=V4
(l1/2)2=21/4 (2'/2)2=61/4
Daha çok noktayı işaretlediğimizde grafikte, bir eğri belirmeye başlar.
Kare alma fonksiyonumuzu tersine çevirebilir ve böylece bir karekök alma fonksiyonu elde edebiliriz:
x —* \rx~.
Bir hesap makinesi yardımıyla sayıların kare-kökleri ilk ondalık basamaklarına kadar bulu¬nabilir. Böylece elde edeceğimiz sayı çiftlerini, şekil A'da görüldüğü gibi bir grafik üzerinde gösterebiliriz:
1 -> 1
Bu gösterime bakıldığında, doğal sayı kadar çift sayı olduğu düşünülebilir. Oysa
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
dizisinden de görülebileceği gibi, her iki doğal sayıdan yalnızca biri çift sayıdır. Bu durumda da doğal sayıların yarısı kadar çift sayı varmış gibi gözükmektedir! Bu ilginç çelişkinin sırrı, sonsuz sayıda doğal sayının olması, yani doğal sayıların sonsuza kadar sıralanıp gitmesidir. Sonsuzluk kavramı üzerinde duran ilk matematikçi Alman Georg Cantor'du (1845-1918).
Sonsuzluk kavramı eski bir kurbağa bilmecesine dayanır. Dairesel bir havuzun tam ortasında bulunan bir kurbağa havuzun kenarına ulaşmak niyetindedir; ama bunun için bir koşulumuz vardır: Kurbağa ilk sıçrayışında, havuzun merkezi ile kenarı arasındaki uzaklığın yarısı, ikinci sıçrayışında aynı uzaklığın dörtte biri, üçüncüsünde sekizde biri kadar yol alacak, yani her sıçrayış bir öncekinin yarısı kadar olacaktır. Eğer havuzun yarıçapı bir metreyse, kurbağanın sıçraya sıçraya giderken almış olduğu yolu, yani ulaşabileceği herhangi bir noktanın havuzun merkezine olan uzaklığını bulmak için, her sıçrayışın uzunlu¬ğunu metrenin kesirleri olarak tek tek yazıp toplayalım:
l^ + 1/4 + 1/8 + 1/l6-|-1/32...
Kurbağa havuzun kenarına ulaşabilecek midir?
Kurbağanın her sıçrayışta hangi uzaklığa ulaşacağını tek tek hesaplarsak, ortaya şöyle bir sonuç çıkar:
l/2=l/2 1/2+'/4 = -y4 1/2+1/4+I/8 = % 1/2+1/4+1/8+'/l6=1-yi6
vb.
Kurbağanın her sıçrayıştan sonra daha ne kadar yolu kaldığına bakarsak, şu sonucu bu¬luruz:
'/2, '/4, V8, Vl6, '/32,...
Kurbağanın her sıçrayışında, gideceği yol yarıya inmektedir. Ama ne kadar sıçrarsa sıçrasın, geriye hep alması gereken bir yol kalmakta, yani her seferinde havuzun kenarına biraz daha yaklaşmakta, ama bir türlü ulaşamamaktadır! Bu, 2'nin karekökünü ya da zr'nin değerini ondalık sayı halinde tam olarak yazamamaya, yalnızca yaklaşık bir değer elde et¬meye benzeyen bir durumdur. Matematiğin analiz denen dalı sonsuzluk kavramıyla da il¬gilenir; analizin integral yöntemiyle bu kavrama nasıl ulaşıldığı DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL HESAP maddesinde açıklanmıştır.
Sonsuzluk kavramı geometride de karşımıza çıkar. Bir düzgün beşgeni ele alalım:
Eğer bu beşgenin bütün köşegenlerini çizersek, ortasında yeni bir beşgen oluşur. Bu küçük beşgenin de köşegenlerini çizdiğimizde, bu kez ortada daha da küçük bir beşgen ortaya çıkar.
Bunu, kuramsal olarak dilediğimiz kadar yineleyebilir, gittikçe daha küçük beşgenler elde ederek sonsuza kadar sürdürebiliriz.
Anasayfa
